El Teorema de Pitágoras

¿SABÍAS QUE…?

Pitágoras fue un filósofo y matemático que vivió en la Antigua Grecia entre los siglos V y VI antes de Cristo. Le debemos muchos descubrimientos relacionados con los números, por ejemplo, las relaciones numéricas de la armonía musical. Pero su hallazgo más conocido es el teorema de Pitágoras, que expresa una propiedad que cumplen los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, de 90 grados. En estos triángulos los lados cortos se llaman catetos y el lado largo se llama hipotenusa. El teorema de Pitágoras dice que

“en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

APLICACIÓN Y DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

Si llamamos A y B a las longitudes de los dos catetos de un triángulo rectángulo, y llamamos H a la longitud de su hipotenusa, el teorema de Pitágoras se escribe matemáticamente así:

Si sabemos cuánto miden los catetos, el teorema de Pitágoras permite saber la longitud de la hipotenusa sin medirla. Basta con calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

que es otra forma de escribir el teorema de Pitágoras, ya que la operación inversa de elevar al cuadrado es la raíz cuadrada. El cuadrado de un número es la multiplicación de ese número por sí mismo. Así, por ejemplo, 3 al cuadrado es 3 x 3 = 9, y la raíz cuadrada de 9 es 3.

Supongamos que en un determinado triángulo rectángulo los catetos miden 3 y 4 metros. Entonces, sabemos que la hipotenusa mide 5 metros ya que

El teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, imaginemos que queremos construir una tirolina atando el cable a la rama de un árbol que está a 5 metros de altura y que el árbol se encuentra a 12 metros del punto de aterrizaje en el suelo; por tanto, necesitaremos 13 metros de cable, que es la raíz cuadrada de 169.

Como el valor de un número elevado al cuadrado es justamente el área de un cuadrado cuyo lado es dicho número, entonces el teorema de Pitágoras nos dice que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (cuadrado verde en el dibujo) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados (cuadrados rojo y azul en el dibujo).

Una demostración del teorema de Pitágoras es la siguiente. Formamos un cuadrado grande de dos maneras: 1) rodeando el cuadrado del lado de la hipotenusa (el verde) de cuatro triángulos colocados según indica el dibujo, y 2) a partir de los dos cuadrados de los lados (el rojo y el azul), completando también con cuatro triángulos. Como en ambos casos hemos empleado los mismos triángulos para formar el cuadrado grande, queda demostrado que el área del cuadrado verde es igual al área del cuadrado rojo más el área del cuadrado azul.

PUZLES DE TRIÁNGULOS Y CUADRADOS

Materiales

Cartulina. Regla. Tijeras.

Comprobamos el teorema

Dibuja en una cartulina un triángulo rectángulo cuyos lados midan 4 cm y 3 cm. Haz ocho triángulos iguales y recórtalos. Dibuja tres cuadrados de 3, 4 y 5 cm de lado, y recórtalos. Construye como un puzle dos cuadrados grandes iguales: uno con el cuadrado de 5 cm (el de la hipotenusa) más cuatro triángulos, y otro con los dos cuadrados pequeños y otros cuatro triángulos.

Dibuja y recorta 25 cuadraditos de 1 cm de lado. Haz un cuadrado de 5 cm de lado combinando los cuadraditos. A partir de ese cuadrado puedes hacer dos: uno con 16 cuadraditos y otro con 9 cuadraditos.

SABER MÁS

Pitágoras y sus discípulos, los pitagóricos, daban a los números una importancia casi mística. Pensaban que todo en la naturaleza obedecía a relaciones armoniosas. Por eso, quedaron muy sorprendidos al descubrir que la diagonal de un cuadrado de lado 1 es la raíz cuadrada de 2, un número que llamaron “irracional”.

Y LA PRÓXIMA SEMANA…

Dinosaurios.