Los cuadrados mágicos se vuelven cuánticos

Los cuadrados mágicos están profundamente enraizados en la cultura humana. Sus orígenes se remontan a China y tienen una antigüedad de al menos 2.800 años. Su expresión actual más popular es el sudoku.

También perduran en algunas culturas orientales, como el Pa Kua, un símbolo de origen chino: los cuadrados mágicos se relacionan con cada uno de los ocho trigramas de este símbolo, utilizado en el libro oracular chino I Ching.

Asimismo, se emplean los cuadrados mágicos en el Feng Shui, un antiguo sistema filosófico chino basado en la ocupación armónica del espacio: así aseguraría una influencia positiva sobre sus ocupantes.

Hoy no tienen aplicación técnica conocida, por lo que la funcionalidad de los cuadrados mágicos está relacionada más bien con el entretenimiento y el pensamiento matemático.

Matrices de números

Matrices de números Lo que proponen la física cuántica Gemma De las Cuevas y los matemáticos Tim Netzer y Tom Drescher trasciende esta comprensión clásica de los cuadrados mágicos.

Los cuadrados mágicos son matrices integradas por números diferentes, con la particularidad de que la suma de los números en las columnas, filas y diagonales, son iguales. Por ejemplo, en el cuadrado mágico de la basílica Sagrada Familia de Barcelona, cada fila y columna suma siempre 33.

Si el cuadrado mágico puede contener números reales, y cada fila y columna suma 1, entonces se llama una matriz doblemente estocástica (no determinista), explica Gemma De las Cuevas a Tendencias21.

Gemma es profesora en el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Innsbruck e investigadora principal del grupo de física cuántica matemática de esa universidad.

Un ejemplo de matriz doblemente estocástica sería una matriz en la que todos los números son 0, excepto por un 1 en cada fila y columna: en este caso se llama una matriz de permutación, añade.

Un teorema famoso dice al respecto que las matrices de permutación "contienen todos los secretos" de las matrices doblemente estocásticas.

Más en concreto, ese famoso teorema señala que toda matriz doblemente estocástica se puede expresar como combinación convexa de matrices de permutación. (Una combinación convexa es una combinación lineal de puntos en la que todos los coeficientes son no negativos y suman 1).

Matriz de matrices

Matriz de matrices Gemma señala al respecto: "en este trabajo hemos introducido el concepto de cuadrados mágicos cuánticos, que son como cuadrados mágicos, pero en vez de números insertamos matrices."

Y añade: "Es decir, un cuadrado mágico cuántico es una matriz de matrices, en la que cada fila y columna suma la matriz identidad (en lugar del número 1). Esta es una generalización no conmutativa, y por tanto cuántica, de los cuadrados mágicos".

También explica que, "al estudiar los cuadrados mágicos cuánticos, nos hemos dado cuenta de que no se pueden caracterizar tan fácilmente como sus primos "clásicos". En particular, los cuadrados mágicos cuánticos no se pueden escribir como combinaciones convexas de matrices de permutación cuánticas."

Y concluye: "este tipo de resultado es de hecho habitual al estudiar generalizaciones cuánticas (o no conmutativas): el mundo cuántico es mucho más rico, y por lo tanto abre muchas más posibilidades, por lo que las caracterizaciones clásicas no valen o no se pueden extender fácilmente."

Gemma de las Cuevas. Foto: Dominik Pfeifer. Posibles aplicaciones físicas

Posibles aplicaciones físicas El resultado de este trabajo podría no ser meramente teórico. Gemma De las Cuevas es prudente al respecto.

"Cada fila y cada columna de un cuadrado mágico cuántico describe las probabilidades de obtener resultados cuando se mide un estado. Cada fila y cada columna de un cuadrado mágico cuántico se pueden expresar como un subsistema de una medida proyectiva, que corresponde a una fila o columna de una matriz de permutación cuántica. Sin embargo, todo el cuadrado mágico cuántico no se puede expresar como un subsistema de una matriz de permutación cuántica. (En el trabajo, decimos que no se puede "dilatar" a una matriz de permutación cuántica.) Es decir, la dilatación funciona para cada fila y columna independientemente, pero no para todas a la vez simultáneamente», explica.

Y añade: "no está claro lo que esto significa desde un punto de vista físico. De momento nos hemos centrado en investigar sus propiedades matemáticas, y aún no hemos investigado las posibles aplicaciones físicas."

En cualquier caso, el descubrimiento ayudará a profundizar en las posibilidades de la mecánica cuántica y tal vez a potenciar la gestión de los sistemas cuánticos y sus estados probabilísticos.

«Este trabajo se encuentra en la intersección entre la geometría algebraica y la información cuántica y muestra las ventajas de la cooperación interdisciplinar», concluyen Gemma De las Cuevas y Tim Netzer en un comunicado.

Referencia

Referencia Quantum magic squares: Dilations and their limitations. Gemma De las Cuevas et al. Journal of Mathematical Physics, Volume 61, Issue 11. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0022344